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建模渲染 一道以祖冲之不等式为背景的24届中科大新生入学考试题的多种解法

2024年中国科学技术大学新生入学考试题第10题题目如下：建模渲染

这道题是以祖冲之不等式为背景的题目，涉及了刘徽的割圆术、弦矢互算以及祖冲之算圆周率的一些思想。下面先来介绍刘徽的割圆术及弦矢互算公式：

在此基础上，下面介绍一下祖冲之不等式：

可以看到，这里的引理2.2就是开头题目第一问的左侧不等式(这里的面积用S表示)，利用这个引理的思路及弦矢互算公式，可以证明右侧的不等式：

关于其它引理，由于笔者材料不是很清楚，这里就不贴了。下面是笔者从网上摘录的另一个材料，正好可以把前边的补充上(就是弦矢标注的字母不同)：

上面这个材料不但给出了祖冲之不等式的证明，外包美工而且给出了祖冲之计算圆周率的方法，利用该方法可以解答开头题目的第二问：

当然，这道题目还可以利用导数放缩来解答，天津求真高级中学的李老师给出了这题的另一种解法：

这道题目的第二问山东的毕老师给出了第三种解法：

最后，附上整套试题：